Решение (5.36) можно представить в виде

Л = Ci Ji (kr) + ni[(kr) + P (r), (5.39)

где P (г) = - -Ж' j (,) J (.p) p (p) d p +

+ Л^ИИр1(*Р)р£(р. 0)dpl.

Функция Д должна быть ограниченной при 0<г<а. Поэтому в (5.39) нужно считать С2=0. Полагая в (5.38) z=0, 0<г<:а и приравнивая получающееся при этом выражение для А правой части (5.39), приходим к следующему интегральному уравнению':

а 2л g-iftL. (л.

7U(f)tdt , , cosd = ciji(kr) + p{r), ora. (5.40)

4it lo(,r. t, ip)

где loir, t, mp) = l{r. 0, <. ylp) = Vr-\-p - 2itcos.

Как видно, ядро интегрального уравнения (5.40) несколько проще ядра уравнения (5.37). Это объясняется тем, что при выводе (5.40) была использо вана цилиндрическая система координат, в которой вектор А имеет одну составляющую аг, а при выводе (5.37) использовалась сферическая система координат, в которой даже при во=п/2 вектор А имеет две составляющие аг и

5.2. Метод интегрирования граничных условий

В § 3.3 был описан метод сведения задач дифракции электромагнитных волн на незамкнутых поверхностях к решению интегральных уравнений, основанный на интегрировании соотношений, вытекающих из граничных условий. Метод был изложен применительно к плоским задачам дифракции Я-поляризованных волн на идеально проводящих незамкнутых цилиндрических поверхностях. Распространим его на случай осесимметричных задач дифракции -поляризованных волн на незамкнутых поверхностях вращения.

Пусть незамкнутая поверхность вращения, совпадающая с частью а^т^р координатной поверхности 9=9o=<X)nst ортогональной системы координат д, т, <р, возбуждается Я-поляризован-ным осесимметричным электромагнитным полем. В этом случае на S наводятся электрические токи с плотностью ]=т'/(т), т^р. Им соответствует векторный потенциал А, определяемый (5.14). На S должно выполняться граничное условие (1.4), которое с учетом (1.9) может быть записано в форме (3.47). Преобразуем (3.47) по аналогии с тем, как это было сделано в § 3.3. Умножая (3.47) на lij{x) и интегрируя по т, приходим к (3.48).

Входящую в (3.48) функцию W(x) выразим через составляющие вектора А, используя условие калибровки (1.11). Записывая (1.11)

Асимптотические решения осесимметричных задач дифракции электромагнитных воли на диске при Ла>1 получены в [56, 59, 62], а при Ла<1-в [33].

В системе координат ч , т, ф и учитывая, что вектор А не зависит от переменной ф, получаем

i f д

У(т) =

соец hq (т) hx (т) Лф (т)

lhq{x)h(x)Ax{r)] +

-Ь lim А [hx (д, т) h {д, X) Ад (<7,т)] ) .

Подставим (5.41) в (3.48), результат умножим на

(-icoep) hgix)hx{x)hix)

и проинтегрируем по т: j,

hg (X) А^ (т) Ах {r)-hg (То) (То) Ах (То) + + J lim [hx ig, I) (q, ) Ag (g, )] d -b

+ iiEix4f (To) f hg (I)hx il) h(l)dl=-iшel J hg(f) iixit) X

(5.41)

Л„ (t) dt J iix (I) Ex (Ddl-k hg (t) hx it) h (f) dt X

To T

(5.42)

X J Ax (1)4(1) d I.

де To - некоторое фиксированное значение переменной т (а: тоР).

После несложных преобразований из (5.42) получаем , hg(т)(т) Ах(т) + ЦкIW(т)-Г (Е)]Лх(I) Ах(I) + Пт-х

i, I в-в. dq

X [hx (д, I) Л^ (<?, I) л, (<7,1)]} d I = f (т) -f Ci -Н с, г (т), а < т < р, (5.43)

где f (т) = - i coEfi I hx (I) E\ il) lW{x)-W (I)] d ;

W{r) = 1hg{t)hAf)h{f)dt,

(5.44)

a Ci И C2 - постоянные, зависящие от выбранного значения координаты То. Ci = fig{xo)Hq,{xo)A. {хо); С2=-i(oep4(To). Входящие в (5.43) составляющие (т) и Ад{д, т) векторного потенциала определяются выражениями

4(т) = -Ь- J/ (/) hx (f) h (t) dt j (x9 f) dit; (5.45):

Uix. t. tf)

2Я iftL(g. X. (. ♦) ( (-J l(q. T. /. rf)

где величина L{q, т, t, if) определена в (5.4), а 1о(т, /, if) = = L(?o, т, /, 111).

В рассматриваемом случае угол ф отсчитывается от плоскости, проходящей через ось Z и точку наблюдения N=N{q, т, 0). Поэтому имеют место соотношения

(т . to) = -:г-,-[Р'х (т) Pt (О созгр 4-1, (т) Е', (01; (5.47)

(qo, to)

[pg ( ?. -с) р\ (О cos If + S, (q, (/)], (5.48)

где

Р',(7.т)=£<;р'И0=

9=9.

И т. Д., а функции р(, т) и (9, т) введены в (5.1), причем, как уже отмечалось, р (9, т)= А 11.(9, т).

Подставляя (5.47) и (5.48) в (5.45) и (5.46), получаем

а

(5.49) (5.50)

где

Гх(т, /) = (p,(T)p,(OS,(T, 0 + Гх(т)Г,(05о(т, 01,

(5.51)

(9. Q= , [р'Лд. T)p,(0Si(9, т, 0+ -fr,(g. x)l,(/)So(9, т, 01;

, 2л -Ifti(g. т. (, *)

S (o. Т. Л = --f--cosnifdTp,

а S (t, /) =Sn (до, т, О - Свойства функции Sn(9, т, О подробно изучены в [24] и [83]. Подставляя (5.49) и (5.50) в (5.43) и производя несложные преобразования, получаем интегральное уравнение

(5.52)

5 / (t) К (т. t)dt=F (т) + Q+Q (т), а < т < р. где К (т, t) = Ag (т) (т) (т, /) + + Uk [W (т) - W (I)] К (1)7х (1.0+

+ 1 С

itn [К(я, I)К (<7. I)(я. l-0])dI.

Как видно, ядро (5.54) интегрального уравнения (5.53) со<?тбйТ LM3 двух частей, первая из которых Л д(т)/г ф(т)7(т, О имеет лО-гарифмическую особенность при- совпадении аргументов, а вторая является ограниченной функцией. Входящие в (5.53) неизвестные постоянные Ci и Cg, как обычно, должны быть определены в процессе решения интегрального уравнения из условий /(а)=/(р) =

5.3. Применение потенциалов Дебая для вывода интегральных уравнений

(5.53)

(5.54)

Как уже отмечалось в § 1.4, при решении задач дифракции электромагнитных волн методом Фурье в сферической системе координат часто вводят потенциалы Дебая и и V. Прн этом решение задачи, как правило, упрощается (см., напри.мер, [49]). Поэтому целесообразно использовать потенциалы Дебая и для сведения некоторых задач дифракции электромагнитных волн на идеально проводящих незамкнутых поверхностях вращения к интегральным или интегро-дифференциальным уравнениям. Такой подход был применен в [84], где рассмотрена осесимметричная задача дифракции электромагнитных волн на идеально провотящен конической поверхности конечных размеров (на конической воронке). В [84] задача сведена к интегро-дифференциальиому уравнению. Однако предложенный алгоритм численного решения полученного уравнения весьма сложен н позволяет получить численные результаты лишь прн малых по сравнению с длиной волны размерах воронки.

Покажем, что использование потенциалов Дебая позволяет также свести данную задачу к решению интегрального уравнения Фредгольма первого рода с ядрам, имеющим логарифмическую особенность при совпадении аргументов [85].

Совместим начало сферической системы координат с вершиной конической поверхности S(0ra; в=во; 0<:ф<2л), а полярную ось - с осью симметрии (рис. 5-3).

Составляющие векторов Е и Н выражаются через потенциалы Дебая U и V соотношениями (1.62). В случае осевой симметрии эти формулы распадаются на две независимые группы уравнений, соответствующих Е- н Я-поляри-зованным полям:

djr V)

г

д* (tV)

+ k*{rV)

drdQ

d*(rU) dr*

+ k*(rU)

d*{rU) drdQ

1 d(rU)

fir ae

(5.55)

Из этих уравнений видно, что осесимметричное £-поляризованное поле может быть описано с помощью одного потенциала V, а Ятполяризованное поле - с помощью одного потенциала U.

Осесимметричная задача дифракции £-поляр,изо8анного поля на конической воронке была сведена на основе метода дифференцирования граничных условий к интегральному уравнению Фредгольма первого рода (5.12) с достаточно простым ядром, имеющим логарифмическую особенность при совпадении аргументов.

Поэтому в данном параграфе ограничимся рассмотрением случая Я-поляри-зации.

Обозначим потенциал первичного Я-поляризоваинсго поля через 1/°= = и<{г, 6). Под воздействием этого поля на конической поверхности (0<r<fl; в=во; 0<ф<2л;) наводятся радиальные токи с плотностью j=r /(r), О^г^а. Функция /(г) связана, с составляющей напряженности магнитного поля и потенциалом U соотношениями

j(r) = H+{r. Qo)-H-(r. во)= -icoe

где индексы + н - означают, что данная функция вычисляется в точках, принадлежащих соответственно внешней (в^во) и внутренней (GGo) по отно-щению к конической поверхности (0=во) части пространства.

Потенциал U удовлетворяет однородному уравнению Гельмгольца (1.59). Поэтому в соответствии с формулой Грина-Кирхгофа

и

а

(5.56)

где So - любая замкнутая поверхность; д/дп - производная по нормали к So, направленная внутрь объема, содержащего точку наблюдения Л'; L - расстояние от точки dS до точки N.

Выберем в качестве So поверхность, прилегающую к обеим сторонам конической воронки. При этом на внутренней стороне воронки д/дп=

=--a/aGgg, а на внешней д1дп=-dldQ\ и (5.56) принимает вид

и {г. в) =

l sin бр 4л

-]i{t)dt о о

2л g-IftZ,

dip.

(5.57)

где L=L{r, G, if) определяется (5.28).

Если бы значения потенциала U были известны в какой-либо области пространства, то (5.57), примененное к точкам этой области, можно было бы рассматривать, как интегральное уравнение для функции /(г). Потенциал U можно определить в точках, принадлежащих конической поверхности S. Действительно, из первого соотношения (5.55) и граничного условия (1.4) следует дифференциальное уравнение

-Ь f/o)] + [г ф + С/О)] = о, г а.

Решая это уравнение, получаем

{/(/ )= -U0{r)-Ci

sinkr

coskr

(5.58)

где Ci и Сг - некоторые, пока произвольные постоянные.

На поверхности S функции t/ и t/ должны быть ограниченными (предполагается, что источники первичного поля не находятся на самой поверхности S). Поэтому в случае конической поверхности S (см. рис. 5.3) постоянную Cz нужно считать равной нулю. При этом из (5.57) и (5.58) вытекает следующее интегральное уравнение:

а 2я .-Iftio (г. t. ф) tr

j/(0<<f , . dii>==Uo{r) + Ci--, О^г^а, (5.59)

ц sin I 4л

Loir. t. If)

где I.o(r, t, if)I.(r, Bo, t. If).

Входящая в (5.59) постоянная C должна быть определена в процессе решения (5.59) из условия У(а)=0.

W В случае усеченной конической поверхности (а<г<сх); в = во; 0<:ф<2л) функция о должна удовлетворять условию излучения при г- -оо. Интегральное уравнение в этом случае принимает вид

;-, а</-<оо, (5.60)

а

isineol? 2л g-IftZ.. (Г. t.

---lnt)dt\ , , dtf=t/o(r)-HC-

4л

Loir, t, If)

a постоянная С также определяется нз условия У(а)=0.

При в=во коническая воронка (см. рис. 5.3) вырождается в бесконечно тонкий диск (см. рис. 2.3), а усеченная коническая поверхность (г>-а; в = Оо; 0Ф^2л)-в плоскость с круглым отверстием. Вид интегральных уравнений остается прежним.

Из полученных результатов видно, что спользоваиие потенциала Дебая U в случае осесимметричной задачи дифракции Я-поляризованных волн на конической поверхности позволяет получить значительно более простые интегральные уравнения, чем интегральные уравнения, получающиеся при использовании электродинамических потенциалов А и f.

Однако в случае £-поляризованного первичного поля для вывода интегральных уравнений указанной задачи дифракции удобнее использовать векторный потенциал А.

Ядра полученных интегральных уравнений (5.59) и (5.60) имеют логарифмическую особенность при совпадении переменных г и < и, следовательно, относятся к тому же типу, что и рассмотренные в предыдущих параграфах.

Глава 6

Интегральные уравнения задачи дифракции произвольного электромагнитного поля

на незамкнутой поверхности вращения \ IT с

9.1. Метод дифференцирования граничных условий

Общие соотношения. Обобщим методику, изложенную в § 5.1, ка случай произвольного возбуждения идеально проводящей незамкнутой поверхности вращения S. Как и прежде, будем считать, что поверхность S совпадает с частью а^т^Р координатной поверхности 9 = = 0 = const ортогональной системы координат q, т, ф, связанной с декартовыми координатами х, у, z соотношениями (5.1).

Рис. 6.1.

Под воздействием первичного электромагнитного поля (коор-инатные орты q°, т и ф показаны на рис. 6.1)

iE = qO£o,(<7. т, ф)-f tO£o,(9, т, ф) + ф ((?. х, ф);

I = q Я%(9. т, ф) + г Яо,(<7, т. ф) + ф (д. т, ф) (6.1)

Bia поверхности S наводятся электрические токи с плотностью г1(т, ф) =т'/, (т, Ф)+<р'/ф (т, ф). Этим токам соответствует вектор-1 ный погенциал

4-72 97